Родился 6 декабря 1965 года в с. Нещеретово Белокуракинского района Луганской области в семье медработников. В 1983 году окончил среднюю школу № 8 г. Миллерово с золотой медалью и поступил в Харьковское высшее военное авиационное инженерное училище. В 1988 году окончил училище по специальности инженер-электрик авиационного оборудования. Служил в вооружённых силах в разных регионах на различных должностях. Уволился из ВС в звании капитана. С 1995 по 1997 год работал на предприятии «Миллеровомежрайгаз» в должности мастера, с 1997 по 2000 год работал в ООО «Импульс» мастером. С 1997 года и по настоящее время работает директором собственной фирмы ООО «Медитэк». Женат, имеет сына и дочь. С юности Александр Андреевич дружит со спортом. В детстве серьёзно занимался велоспортом, сейчас посещает бассейн, тренажёрный зал.
В свободное от работы время любит заниматься в саду. Выращивает виноград. Любит семейный отдых на природе.
Из музыкальных пристрастий Александр Андреевич без раздумий ставит на первое место шансон.
Главное человеческое качество, по мнению Громова – порядочность. Немаловажное значение также имеет наличие доброты в душе человека.
Громов неоднократно избирался депутатом районной Думы, в настоящее время активно участвует в общественной жизни города и района. В 2008 году награждён медалью «Профессионал России».
