Фёдор Максимович родился в х. Елизоветовка Мальчевского района (ныне Миллеровский район Ростовской области)
С самого начала Великой Отечественной войны Ф. М. Бажора начал свой боевой путь в качестве секретаря партийной организации в различных воинских соединениях Красной Армии. Он служил в отдельной роте ПТР батальона морской пехоты, участвовал в обороне Севастополя, был на переднем крае и личным примером отваги воодушевлял своих боевых товарищей в Крыму. В последние дни обороны Севастополя, в 1942 году, он был тяжело ранен и на подводной лодке доставлен на Кавказ. Находился в госпитале. Затем был переброшен в Белоруссию, где участвовал в освобождении республики от немецко-фашистских захватчиков. В июне 1944 года поднял бойцов двух рот в атаку под станцией Жодино, в рукопашной схватке уничтожил несколько гитлеровцев и отразил наступление немцев. Затем, возглавив взвод, форсировал реку Неман и, овладев плацдармом, удерживал до подхода основных сил. Командующий войсками 3-го Белорусского фронта генерал армии Иван Данилович Черняховский 29 октября 1944 года написал: «Достоин присвоения звания Героя Советского Союза».
Сразу после победы над германским нацизмом, пройдя всю Европу, Федор Максимович вернулся героем в родной хутор и был избран председателем самого отсталого в районе колхоза. В трудные послевоенные годы за несколько лет он умудрился не только восстановить его, но и сделать передовым в районе. Успехи Бажоры на поприще экономическом не остались незамеченными. Руководство района предложило герою проявить себя на поприще политическом. Он неоднократно избирался депутатом районного собрания депутатов, активно участвуя в развитии родных мест. В конце своей жизни Федор Максимович переехал в Миллерово, где возглавил местный райпромкомбинат. Однако из-за обострения болезней, связанных с ранениями на войне, вынужден был оставить работу и выйти на пенсию. Умер в 1966 году. Сегодня одна из улиц Маслозаводского поселка города Миллерово носит его имя. Также его именем названы улицы в белорусских городах Гродно и Жодино.
